Question

3．一個袋中裝有大小相同的黑球和白球共8個，從中任取2個球，記隨機變量X為取出2個球中白球的個數，已知P（X=2）=$\frac{3}{28}$．
（Ⅰ）求袋中白球的個數；
（Ⅱ）求隨機變量X的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設袋中有白球n個，由P（X=2）列出方程求出n的值；
（Ⅱ）題意知隨機變量X的可能取值，計算對應的概率值，
寫出X的分布列，求出數學期望值．

解答 解：（Ⅰ）設袋中有白球n個，
則P（X=2）=$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{28}$，
化簡得n²-n-6=0，
解得n=3或n=-2（不合題意，舍去），
所以袋中白球的個數為3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知袋中有白球3個，黑球5個，
所以隨機變量X的可能取值為0，1，2；
則P（X=0）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{5}{14}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$，
P（X=2）=$\frac{3}{28}$，
所以X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{5}{14}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{28}$

數學期望為EX=0×$\frac{5}{14}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{28}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是基礎題．