Question

20．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{24}{7-cos2θ}$．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C交于不同兩點A，B，求tanα的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的普通方程．
（2）直線l的參數方程消去參數t，能化為普通方程，代入C的普通方程，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，由此利用根的判別式能求出tanα的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{24}{7-cos2θ}$．
∴24=ρ²（7-cos²θ+sin²θ），
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲線C的普通方程為24=7（x²+y²）-x²+y²，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數），
將直線l的參數方程消去參數t，化為普通方程得y=kx+2（其中k=tanα），
代入C的普通方程并整理得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
故△=16²k²-16（4k²+3）＞0，
解得k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$，
∴tanα的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查曲線的普通方程的求法，考查角的正切值的最大值的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．