Question

15．在平面直角坐標系xoy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為${ρ^2}=\frac{a}{{a{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}（{θ∈R}）$，且曲線C在極坐標系中過點（2，π）．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=-2+2\sqrt{2}t\\ y=\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數）與曲線C相交于A，B兩點，直線m過線段AB的中點，且傾斜角是直線l的傾斜角的2倍，求m的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）由曲線C在極坐標系中過點（2，π），得到曲線C的極坐標方程為4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，由此能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）直線l消去參數t，得直線l的普通方程為x-2y+2=0，聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，得x²+2x=0，求出AB的中點為M（-1，$\frac{1}{2}$），從而直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，由此求出直線m的斜率為$\frac{4}{3}$．從而求出直線m的直角坐標方程，進而求出m的極坐標方程．

解答 解：（1）∵曲線C在極坐標系中過點（2，π），
∴把（2，π）代入曲線C的極坐標方程${ρ^2}=\frac{a}{{a{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}（{θ∈R}）$，
得：4=$\frac{a}{asi{n}^{2}π+co{s}^{2}π}$，解得a=4，
∴曲線C的極坐標方程為${ρ^2}=\frac{4}{{4{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ}}（{θ∈R}）$，即4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）∵直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=-2+2\sqrt{2}t\\ y=\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
∴消去參數t，得直線l的普通方程為x-2y+2=0，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，得x²+2x=0，解得x=-2或x=0，∴A（-2，0），B（0，1），
∴AB的中點為M（-1，$\frac{1}{2}$），
∵直線l的斜率為$\frac{1}{2}$，即tanα=$\frac{1}{2}$，∴tan2α=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$．
∴直線m的方程為y-$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}$（x+1），即8x-6y+11=0，
∴m的極坐標方程為8ρcosθ-6ρsinθ+11=0．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程、直線的極坐標方程的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．