Question

10．已知直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t為參數），若以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．則圓的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2，直線l和圓C的位置關系為相交（填相交、相切、相離）．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程消去參數t，能求出直線l的普通方程；圓C的極坐標方程轉化為ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），由此能求出圓C的直角坐標方程．
（2）求出圓心C（1，1）到直線l的距離d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜$\sqrt{2}$=r，由此得到直線l和圓C相交．

解答 解：（1）直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=1+2t}\end{array}\right.$（t為參數），
消去參數t，得直線l的普通方程為y=2x+1．
圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
即ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
∴圓C的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=2．
（2）圓心C（1，1）到直線l的距離d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜$\sqrt{2}$=r，
∴直線l和圓C相交．
故答案為：（x-1）²+（y-1）²=2；相交．

點評 本題考查圓的直角坐標方程的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．