Question

5．已知函數f（x）=mln（x+1），g（x）=$\frac{x}{x+1}（{x＞-1}）$．
（1）當m=2時，求函數y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．
（2）討論函數F（x）=f（x）-g（x）在（-1，+∞）上的單調性；
（3）若y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線，試求實數m的值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，計算f（0），f′（0）的值，求出切線方程即可；
（2）求出F（x）的導數，通過討論m的范圍求出函數的單調區間即可；
（3）求出切線方程，聯立方程組，得到$g（b）=2mln（{b+1}）+\frac{2}{b+1}+mlnm-m-1$，根據函數的單調性求出a，b的值，求出公切線方程即可．

解答 解：（1）m=2時，f（x）=2ln（x+1），f′（x）=$\frac{2}{x+1}$，
故f（0）=0，f′（0）=2，
故切線方程是：y-0=2（x-0），
即：y=2x…（3分）
（2）$F'（x）=f'（x）-g'（x）=\frac{m}{x+1}-\frac{1}{{{{（{x+1}）}^2}}}=\frac{{m（{x+1}）-1}}{{{{（{x+1}）}^2}}}，（{x＞-1}）$
當m≤0時，F'（x）＜0，函數F（x）在（-1，+∞）上單調遞減；
當m＞0時，令$F'（x）＜0⇒x＜-1+\frac{1}{m}$，函數F（x）在$（{-1，-1+\frac{1}{m}}）$上單調遞減；
$F'（x）＞0⇒x＞-1+\frac{1}{m}$，函數F（x）在$（{-1+\frac{1}{m}，+∞}）$上單調遞增，
綜上所述，當m≤0時，F（x）的單減區間是（-1，+∞）；
當m＞0時，F（x）的單減區間是$（{-1，-1+\frac{1}{m}}）$，
單增區間是$（{-1+\frac{1}{m}，+∞}）$…（7分）
（3）函數f（x）=mln（x+1）在點（a，mln（a+1））處的切線方程為：
$y-mln（{a+1}）=\frac{m}{a+1}（{x-a}）$，即$y=\frac{m}{a+1}x+mln（{a+1}）-\frac{ma}{a+1}$，
函數$g（x）=\frac{x}{x+1}$在點$（{b，1-\frac{1}{b+1}}）$處的切線方程為：
$y-（{1-\frac{1}{b+1}}）=\frac{1}{{{{（{b+1}）}^2}}}（{x-b}）$，即$y=\frac{1}{{{{（{b+1}）}^2}}}x+\frac{b^2}{{{{（{b+1}）}^2}}}$．
y=f（x）與y=g（x）的圖象有且僅有一條公切線．
所以$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m}{a+1}=\frac{1}{{{{（{b+1}）}^2}}}\;\;\;\;①}\\{mln（{a+1}）-\frac{ma}{a+1}=\frac{b^2}{{{{（{b+1}）}^2}}}\;\;\;②}\end{array}}\right.$
有唯一一對（a，b）滿足這個方程組，且m＞0．
由（1）得：a+1=m（b+1）²代入（2）消去a，
整理得：$2mln（{b+1}）+\frac{2}{b+1}+mlnm-m-1=0$，關于b（b＞-1）的方程有唯一解．
令$g（b）=2mln（{b+1}）+\frac{2}{b+1}+mlnm-m-1$，${g^'}（b）=\frac{2m}{b+1}-\frac{2}{{{{（{b+1}）}^2}}}=\frac{{2[{m（{b+1}）-1}]}}{{{{（{b+1}）}^2}}}$
方程組有解時，m＞0，所以g（b）在$（{-1，-1+\frac{1}{m}}）$單調遞減，在$（{-1+\frac{1}{m}，+∞}）$單調遞增，
所以$g{（b）_{min}}=9（{-1+\frac{1}{m}}）=m-mlnm-1$，
因為b→+∞，g（b）→+∞，b→-1，g（b）→+∞，
只需m-mlnm-1=0，令σ（m）=m-lnm-1、σ'（m）=-lnm在m＞0為單減函數，
且m=1時，σ'（m）=0，即σ（m）_max=σ（1）=0，
所以m=1時，關于b的方程$2mln（{b+1}）+\frac{2}{b+1}+mlnm-m-1=0$有唯一解
此時a=b=0，公切線方程為y=x…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．