Question

9．已知α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），tanα，tanβ是二次方程x²+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的兩實根，則α+β=-$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用韋達定理求得tan（α+β）的值，再根據α+β的范圍，求得α+β的值．

解答 解：∵α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），tanα，tanβ是二次方程x²+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的兩實根，
∴tanα+tanβ=-$\sqrt{2017}$，tanα•tanβ=$\sqrt{2017}$+1，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-\sqrt{2017}}{1-（\sqrt{2017}+1）}$=1，
結合α+β∈（-π，π），∴α+β=$\frac{π}{4}$，或α+β=-$\frac{3π}{4}$，
當α+β=$\frac{π}{4}$時，不滿足tanα+tanβ=-$\sqrt{2017}$，故舍去，檢驗α+β=-$\frac{3π}{4}$，滿足條件．
綜上可得，α+β=-$\frac{3π}{4}$，
故答案為：-$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查韋達定理，根據三角函數的值求角，屬于基礎題．