Question

7．在直角坐標系xOy中，直線${C_1}：y=\sqrt{3}x$，曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求C₁的極坐標方程和C₂的普通方程；
（2）把C₁繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$得到直線C₃，C₃與C₂交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由直線C₁的直角坐標方程能求出直線C₁的極坐標方程，曲線C₂的參數(shù)方程消去參數(shù)θ，能求出曲線C₂的普通方程．
（2）把C₁繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$得到直線C₃的極坐標方程為$θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R）$，化為直角坐標方程為$y=-\sqrt{3}x$．求出圓C₂的圓心（$\sqrt{3}$，2）到直線C₃：$\sqrt{3}x+y=0$的距離，由此利用勾股定理能求出|AB|．

解答 解：（1）∵直線${C_1}：y=\sqrt{3}x$，
∴直線C₁的極坐標方程為$ρsinθ=\sqrt{3}ρcosθ，即θ=\frac{π}{3}（ρ∈R）$，
∵曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴消去參數(shù)θ，得曲線C₂的普通方程為${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y+2）^2}=1$．
（2）∵把C₁繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$得到直線C₃，
∴C₃的極坐標方程為$θ=\frac{2π}{3}（ρ∈R）$，化為直角坐標方程為$y=-\sqrt{3}x$．
圓C₂的圓心（$\sqrt{3}$，2）到直線C₃：$\sqrt{3}x+y=0$的距離：
$d=\frac{{|{-3+2}|}}{2}=\frac{1}{2}$．
∴$|{AB}|=2\sqrt{{1^2}-\frac{1}{4}}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程的求法，考查曲線的普通方程的求法，考查弦長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．