Question

5．不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2x\\ y-\frac{1}{2}x≥0\\ x+y≤k\end{array}\right.$表示的區域面積大于或等于$\frac{3}{2}$，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． k≥1
• B． k≥2
• C． k≥3
• D． k≥4

Answer 1

分析 畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≤2x\\ y-\frac{1}{2}x≥0\\ x+y≤k\end{array}\right.$表示的平面區域，求出區域面積，利用面積列不等式求k的取值范圍．

解答 解：畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}y≤2x\\ y-\frac{1}{2}x≥0\\ x+y≤k\end{array}\right.$表示的平面區域如圖陰影部分所示；

由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=k}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{k}{3}$，$\frac{2k}{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{1}{2}x=0}\\{x+y=k}\end{array}\right.$，解得點B（$\frac{2k}{3}$，$\frac{k}{3}$）；
所以陰影部分面積為
S=S_△OAC-S_△OBC=$\frac{1}{2}$•k•$\frac{2k}{3}$-$\frac{1}{2}$•k•$\frac{k}{3}$=$\frac{{k}^{2}}{3}$-$\frac{{k}^{2}}{6}$=$\frac{{k}^{2}}{6}$，
令$\frac{{k}^{2}}{6}$≥$\frac{3}{2}$，解得k≥3或k≤-3（不合題意，舍去）；
所以實數k的取值范圍是k≥3．
故選：C．

點評 本題考查了簡單的線性規劃問題，也考查了數形結合思想，是綜合題．