Question

3．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點F，拋物線上一點A的橫坐標為x₁（x₁＞0），過點A作拋物線的切線交x軸于點D，交y軸于點Q，交直線l：y=$\frac{p}{2}$于點M，|FD|=2，∠AFD=60°．
（1）求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；
（2）求△DFM的面積．

Answer 1

分析 （1）利用導數求出切線方程，得出Q，D的坐標，計算|AF|，|FQ|即可得出|AF|=|FQ|，根據三角形性質得出|OF|=1，從而得出拋物線方程；
（2）根據直線斜率可得DF⊥AD，由∠DFM=30°求出DM，于是S_△DFM=$\frac{1}{2}DF•DM$．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），則切線l的方程為y=$\frac{{x}_{1}}{p}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$，且y₁=$\frac{{x}_{1}^{2}}{2p}$，
∴D（$\frac{{x}_{1}}{2}$，0），Q（0，-y₁），
∴|FQ|=$\frac{p}{2}$+y₁，|AF|=$\frac{p}{2}$+y₁，∴|FQ|=|FA|，
∴△AFQ為等腰三角形，且D為AQ的中點，
∴DF⊥AQ，
∵|FD|=2，∠AFD=60°，
∴∠QFD=60°，∴OF=$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$FD=1，
∴p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
（2）F（0，1），k_AD=$\frac{{x}_{1}}{2}$，k_DF=$\frac{1}{-\frac{{x}_{1}}{2}}$=-$\frac{2}{{x}_{1}}$，
∴k_DF•k_AD=-1，∴DF⊥AD，
∵∠DFM=90°-∠QFD=30°，DF=2，
∴DM=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△DFM=$\frac{1}{2}•DF•DM$=$\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了拋物線的性質，切線方程，屬于中檔題．