Question

12．已知a，b，c∈（0，+∞） 且 a≥b≥c，a+b+c=12，ab+bc+ca=45，則a的最小值為（　　）

• A． 5
• B． 10
• C． 15
• D． 20

Answer 1

分析 由a≥b≥c，a+b+c=12可得a≥4，利用（a-b）（a-c）≥0得出bc≥12a-2a²，故而45≥bc+a（12-a）=-3a²+24a，從而解出a的范圍．

解答 解：∵a+b+c=12，∴b+c=12-a，
∵a≥b≥c，∴a≥4，（a-b）（a-c）≥0，
即a²-a（12-a）+bc≥0，即bc≥a（12-a）-a²=12a-2a²，
∴ab+bc+ca=bc+a（12-a）≥12a-2a²+a（12-a）=-3a²+24a，
即45≥-3a²+24a，解得a≥5或a≤3（舍），
當且僅當a=5，b=5，c=2時取等號．
故選A．

點評 本題考查了不等式的性質，屬于中檔題．