Question

17．同時具有下列性質：“①對任意x∈R，f（x+π）=f（x）恒成立；②圖象關于點（$\frac{π}{12}$，0）中心對稱；③函數在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函數”的函數可以是（　　）

• A． f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）
• B． f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）
• C． f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
• D． f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 利用三角函數的周期性、單調性、以及圖象的對稱性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答 解：對于f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$），它的周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，顯然不滿足條件①，故排除A；
對于f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），當x=$\frac{π}{12}$時，求得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$≠0，顯然不滿足條件②，故排除B；
對于f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，π]，故函數在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是減函數，不滿足條件③，故排除C；
對于f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由于它的周期為$\frac{2π}{2}$=π，滿足條件①；當x=$\frac{π}{12}$時，求得f（x）=0，顯然滿足條件②；
當x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函數在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函數，滿足條件③，
故選：D．

點評 本題主要考查三角函數的周期性、單調性、以及圖象的對稱性，屬于基礎題．