Question

19．已知拋物線y²=ax的準線是l：x=-$\frac{1}{2}$．
（1）寫出拋物線的焦點F的坐標和標準方程；
（2）若經過焦點切斜角為45°的直線與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）根據準線方程求出a，得出標準方程和焦點坐標；
（2）聯立方程組，利用根與系數的關系和拋物線的性質得出|AB|．

解答 解：（1）由題意可知-$\frac{a}{4}$=-$\frac{1}{2}$，∴a=2，
∴拋物線的標準方程為y²=2x，焦點F（$\frac{1}{2}$，0）．
（2）直線AB的方程為y=x-$\frac{1}{2}$，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=x-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，消去y得x²-3x+$\frac{1}{4}$=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=3，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x₁+$\frac{1}{2}$+x₂+$\frac{1}{2}$=x₁+x₂+1=4．

點評 本題考查了拋物線的性質，焦點弦公式，屬于基礎題．