Question

8．以正弦曲線y=sin$\sqrt{3}$x上一點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由直線的斜率公式和余弦函數(shù)的值域，結合正切函數(shù)的圖象和性質，即可得到所求范圍．

解答 解：y=sin$\sqrt{3}$x的導數(shù)為y′=$\sqrt{3}$cos$\sqrt{3}$x，
由導數(shù)的幾何意義可得直線l的斜率為k=$\sqrt{3}$cos$\sqrt{3}$x，
可得-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
設直線l的傾斜角為θ，0≤θ＜π，
即有-$\sqrt{3}$≤tanθ≤$\sqrt{3}$，
即有0≤θ≤$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$≤θ＜π．
故答案為：[0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導數(shù)的幾何意義，以及直線的斜率公式和正切函數(shù)的圖象和性質，屬于中檔題．