Question

20．已知函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在區間[0，1]內至少有一個零點，則a²+2b（　　）

• A． 有最小值，但無最大值
• B． 有最大值，但無最小值
• C． 既無最小值，也無最大值
• D． 既有最小值，也有最大值

Answer 1

分析 利用根的存在性定理求出a，b的取值范圍，再利用等式表示出b，代入t=a²+2b，
得出關于a二次函數，由二次函數的圖象與性質得出結論．

解答 解：函數f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在區間[0，1]內至少有一個零點，
則f（0）•f（1）=b（a+b+1）≤0；
畫出不等式組表示的平面區域如圖所示，a、b∈R；
把等式看成關于a，b的直線方程：x²+xa+b=0，
則b=-ax-x²，
t=a²+2b=a²-2ax-2x²=（a-x）²-3x²；
是關于a二次函數，圖象開口向上，
且a=x時t有最小值-3x²，無最大值．
故選：A．

點評 本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了轉化思想的應用問題．