Question

17．已知f（x）是定義在R上的函數，且對任意x∈R都有f（x+2）=f（2-x）+4f（2），若函數y=f（x+1）的圖象關于點（-1，0）對稱，且f（1）=3，則f（2015）=-3．

Answer 1

分析 由函數f（x+1）的圖象關于（-1，0）對稱且由y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象可知函數y=f（x）的圖象關于原點對稱即函數y=f（x）為奇函數，在已知條件中令x=-1可求f（1）及函數的周期，利用所求周期即可求解．

解答 解：∵函數f（x+1）的圖象關于（-1，0）對稱且把y=f（x+1）向右平移1個單位可得y=f（x）的圖象，
∴函數y=f（x）的圖象關于（0，0）對稱，即函數y=f（x）為奇函數，
∴f（0）=0，f（1）=3，
∵f（x+2）=f（2-x）+4f（2）=-f（x-2）+4f（2），
∴f（x+4）=-f（x）+4f（2），
f（x+8）=-f（x+4）+4f（2）=f（x），
函數的周期為8，
f（2015）=f（252×8-1）=f（-1）=-f（1）=-3．
故答案為：-3．

點評 本題考查了抽象函數的奇偶性對稱性、圖象變換、求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．