Question

12．已知函數f（x）為偶函數且滿足：f（x）=f（4-x），當x∈[0，2]時，f（x）=x-1，則不等式xf（x）＞0在[-1，3]上的解集為（　　）

• A． （1，3）
• B． （-1，1）
• C． （-1，0）∪（1，3）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 根據函數的周期性和奇偶性，求出當x∈[-1，3]上的解析式，結合圖象將不等式轉化為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，利用數形結合即可得到結論．

解答 解：若x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
∵當x∈[0，2]時，f（x）=x-1，
∴f（-x）=-x-1，
∵f（x）是偶函數，
∴f（-x）=-x-1=f（x），
即當x∈[-2，0]時，f（x）=-x-1，
即在一個周期[-2，2]內，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，0≤x≤2}\\{-x-1，-2≤x＜0}\end{array}\right.$，
若x∈[2，4]，則x-4∈[-2，0]，
即f（x）=f（x-4）=-（x-4）-1=-x+3，x∈[2，4]，
作出函數f（x）在[-2，4]上的圖象如圖：
則當x∈[-1，3]時，不等式xf（x）＞0
等價為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
即1＜x＜3或-1＜x＜0，
即（-1，0）∪（1，3），
故選：C．

點評 本題主要考查不等式的解集的計算，根據函數的奇偶性和周期性求出函數的解析式，利用數形結合是解決本題的關鍵．