Question

9．已知數列{a_n}滿足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N*，n≥2）且a₃=95．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求實數t，使得b_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t）（n∈N*）且{b_n}為等差數列；
（3）在（2）條件下求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）當n=2時，a₂=3a₁+8，當n=3時，a₃=3a₃+3³-1=95，可得a₂=23，代入即可求得a₁=5；
（2）由等差數列的性質可知：b_n-b_n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t）-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$（a_n-1+t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t-3a_n-1-3t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（3ⁿ-1-2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值；
（3）由等差數列的通項公式可得b_n=$\frac{3}{2}$+（n-1）=n+$\frac{1}{2}$，求得a_n=（n+$\frac{1}{2}$）3ⁿ+$\frac{1}{2}$，采用分組求和及“錯位相減法”即可求得數列{a_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）當n=2時，a₂=3a₁+8，
當n=3時，a₃=3a₃+3³-1=95，
∴a₂=23，
∴23=3a₁+8，
∴a₁=5；
（2）當n≥2時，b_n-b_n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t）-$\frac{1}{{3}^{n-1}}$（a_n-1+t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（a_n+t-3a_n-1-3t）=$\frac{1}{{3}^{n}}$（3ⁿ-1-2t）．
要使{b_n}為等差數列，則必須使1+2t=0，
∴t=-$\frac{1}{2}$，
即存在t=-$\frac{1}{2}$，使數列{b_n}為等差數列．
（3）∵當t=-$\frac{1}{2}$，時，數列{b_n}為等差數列，且b_n-b_n-1=1，b₁=$\frac{3}{2}$，
∴b_n=$\frac{3}{2}$+（n-1）=n+$\frac{1}{2}$，
∴a_n=（n+$\frac{1}{2}$）3ⁿ+$\frac{1}{2}$，
于是，S_n=$\frac{3}{2}$×3+$\frac{5}{2}$3²+…+$\frac{2n+1}{2}$•3ⁿ+$\frac{1}{2}$×n，
令S=3×3+5×3²+…+（2n+1）•3ⁿ，①
3S=3×3²+5×3³+…+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S=3×3+3×3²+2×3³+…+2•3ⁿ-（2n+1）•3ⁿ⁺¹，②
化簡得S=n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{n•{3}^{n+1}}{2}$+$\frac{n}{2}$=$\frac{n（{3}^{n+1}+1）}{2}$，
數列{a_n}的前n項和S_n，S_n=$\frac{n（{3}^{n+1}+1）}{2}$．

點評 本題考查等差數列性質及前n項和公式，考查分組求和及“錯位相減法”的應用，考查計算能力，屬于中檔題．