Question

14．給出下列命題：
①已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，則“a=3”是“A⊆B”的充分不必要條件；
②“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分條件；
③“函數f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π”是“a=1”的充要條件；
④“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是鈍角”的充要條件的“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”．
其中正確命題的序號是①②．（把所有正確命題的序號都寫上）

Answer 1

分析 求出A⊆B時對應a的值，然后利用充分條件和必要條件的定義進行判斷①，根據不等式的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷②，利用充分、必要條件的概念與二倍角的余弦及余弦函數的周期性可判斷③，當“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是鈍角”時，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”，反之不成立，由于向量反向共線時，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”可判斷④．

解答 解：對于①，當a=3時，A={1，a}={1，3}，滿足A⊆B，若A⊆B，則a=2或3，
∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要條件，故①正確；
對于②，∵x＜0，∴x+1＜1，當x+1＞0時，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴-1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分條件，故②正確；
對于③，函數f（x）=cos²ax-sin²ax=cos2ax的最小正周期為π，
則$\frac{2π}{|2a|}$=π，|a|=1，解得：a=±1，故充分性不成立；
反之，若a=1，則f（x）=cos²x-sin²x=cos2x的最小正周期為π，必要性成立；
故函數f（x）=cos²ax-sin²ax的最小正周期為π是“a=1”的必要不充分條件，故③錯誤；
對于④，當“平面向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角是鈍角”時，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”，
反之不成立，由于向量反向共線時，“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0”，故④錯誤．
∴正確命題的序號是：①②．
故答案為：①②．

點評 本題主要考查命題的真假判斷與應用，充分條件和必要條件的應用，考查集合關系的判定以及不等式的性質，考查三角函數的周期性以及向量的數量積及其夾角公式，考查了推理能力，屬于中檔題．