Question

6．偶函數f（x）滿足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]時，f（x）=x²，g（x）=ln|x|，則函數h（x）=f（x）-g（x）的零點的個數是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f（x-1）=f（x+1）求出函數的周期，利用條件和偶函數的性質求出在[-1，1]的解析式，由周期性畫出
f（x）在整個定義域上的圖象，由對數函數的圖象畫出g（x）=ln|x|的圖象，由圖和函數零點與圖象交點的關系即可得到答案．

解答 解：由f（x-1）=f（x+1）得f（x）=f（x+2），
所以函數周期為2，
由f（x）為偶函數知圖象關于y軸對稱，
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x²，
∴x∈[-1，0]時，-x∈[0，1]，
則f（x）=f（-x）=（-x）²=x²，
∴x∈[-1，1]時，f（x）=x²，
在同一直角坐標系中做出：
函數f（x）的圖象和g（x）=ln|x|圖象，
由圖可知有2個交點，
∴函數h（x）=f（x）-g（x）有兩個零點，
故選B．

點評 本題考查了函數的零點與函數圖象的交點關系，偶函數的性質，函數周期性的應用，以及對數函數的圖象，考查轉化思想、數形結合思想，屬于中檔題．