Question

15．已知過點A（0，3）的圓C，圓心在y軸的負半軸上，且半徑為5．
（1）求圓C的標準方程；
（2）若過點M（-3，-3）的直線l被圓C的所截得的弦長為$4\sqrt{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設圓C的圓心坐標為（0，b）（b＜0），則圓的標準方程為x²+（y-b）²=25，代入點的坐標求解b，然后求出圓的方程．
（2）設直線l的方程為y+3=k（x+3），求出圓心C坐標為（0，-2），半徑為5，利用點到直線的距離公式轉化求解即可．

解答 解：（1）由題意可設圓C的圓心坐標為（0，b）（b＜0），則圓的標準方程為x²+（y-b）²=25，
將點A（0，3）代入，得（3-b）²=25，解得b=-2，或b=8（不合題意）
故所求圓C的標準方程為x²+（y+2）²=25．…（6分）
（2）由題意，可設直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx-y+3k-3=0，…（7分）
又由（1）得圓心C坐標為（0，-2），半徑為5，
則$\frac{{|{2+3k-3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{{5^2}-{{（{\frac{{4\sqrt{5}}}{2}}）}^2}}$，解得$k=-\frac{1}{2}$，或k=2，…（10分）
所以所求直線l的方程為$y+3=-\frac{1}{2}×（{x+3}）$，或y+3=2×（x+3）．…（11分）
即x+2y+9=0，或2x-y+3=0．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，切線方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．