Question

5．若曲線${C_1}：y=1+\sqrt{-{x^2}+2x}$與曲線C₂：（y-1）•（y-kx-2k）=0有四個不同的交點，則實數k的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 作出兩曲線圖象，根據交點個數判斷直線的斜率范圍即可．

解答 解：由y=1+$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$得（x-1）²+（y-1）²=1（y≥1），
曲線C₁表示以（1，1）為圓心以1為半徑的上半圓，
顯然直線y=1與曲線C₁有兩個交點，交點為半圓的兩個端點．
∴直線y=kx+2k=k（x+2）與半圓有2個除端點外的交點，

當直線y=k（x+2）經過點（0，1）時，k=$\frac{1}{2}$，
當直線y=k（x+2）與半圓相切時，$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$或k=0（舍），
∴當$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{3}{4}$時，直線y=k（x+2）與半圓有2個除端點外的交點，
故答案為：$（\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$

點評 本題考查了方程解與函數圖象的關系，直線與圓的位置關系，屬于中檔題．