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5.若曲線${C_1}:y=1+\sqrt{-{x^2}+2x}$與曲線C2:(y-1)•(y-kx-2k)=0有四個不同的交點,則實數k的取值范圍為($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$).

分析 作出兩曲線圖象,根據交點個數判斷直線的斜率范圍即可.

解答 解:由y=1+$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$得(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),
曲線C1表示以(1,1)為圓心以1為半徑的上半圓,
顯然直線y=1與曲線C1有兩個交點,交點為半圓的兩個端點.
∴直線y=kx+2k=k(x+2)與半圓有2個除端點外的交點,

當直線y=k(x+2)經過點(0,1)時,k=$\frac{1}{2}$,
當直線y=k(x+2)與半圓相切時,$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1,解得k=$\frac{3}{4}$或k=0(舍),
∴當$\frac{1}{2}$<k<$\frac{3}{4}$時,直線y=k(x+2)與半圓有2個除端點外的交點,
故答案為:$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$

點評 本題考查了方程解與函數圖象的關系,直線與圓的位置關系,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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