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4.給出下列四個關于數列命題:
(1)若{an}是等差數列,則三點$(10,\frac{{{S_{10}}}}{10})$、$(100,\frac{{{S_{100}}}}{100})$、$(110,\frac{{{S_{110}}}}{110})$共線;
(2)若{an}是等比數列,則Sm、S2m-Sm、S3m-S2m(m∈N*)也是等比數列;
(3)等比數列{an}的前n項和為Sn,若對任意的n∈N*,點(n,Sn)均在函數y=bx+r(b≠0,b≠1,b、r均為常數)的圖象上,則r的值為-1.
(4)對于數列{an},定義數列{an+1-an}為數列{an}的“差數列”,若a1=2,{an}的“差數列”的通項為2n,則數列{an}的前n項和Sn=2n+1-2
其中正確命題的個數是(  )
A.4B.3C.2D.1

分析 通過判斷{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是否為等差數列判斷(1);令公比為-1判斷(2);通過計算an判斷(3);累加法計算an得出通項公式,通過求和公式計算判斷(4).

解答 解:(1)若{an}是等差數列,則Sn=na1+$\frac{n(n-1)d}{2}$,∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a1-$\fracp9vv5xb5{2}$+$\fracp9vv5xb5{2}$n,
即$\frac{{S}_{n}}{n}$是關于n的一次函數,∴{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數列,
∴三點$(10,\frac{{{S_{10}}}}{10})$、$(100,\frac{{{S_{100}}}}{100})$、$(110,\frac{{{S_{110}}}}{110})$共線,故(1)正確;
(2)若{an}是公比為-1的等比數列,當m為偶數時,有Sm=S2m=S3m=0,顯然結論錯誤;故(2)錯誤;
(3)Sn=bn+r,當n=1時,a1=S1=b+r,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1
又因為{an}為等比數列,所以r=-1,故(3)正確;
(4)n=1時,a1=2;
當n≥2時,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+2+2=2+$\frac{2(1-{2}^{n-1})}{1-2}$=2n
∴Sn=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$=2n+1-2,故(4)正確.
故選:B.

點評 本題考查了等差數列,等比數列的判斷與性質,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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