Question

4．給出下列四個關于數列命題：
（1）若{a_n}是等差數列，則三點$（10，\frac{{{S_{10}}}}{10}）$、$（100，\frac{{{S_{100}}}}{100}）$、$（110，\frac{{{S_{110}}}}{110}）$共線；
（2）若{a_n}是等比數列，則S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）也是等比數列；
（3）等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意的n∈N^*，點（n，S_n）均在函數y=b^x+r（b≠0，b≠1，b、r均為常數）的圖象上，則r的值為-1．
（4）對于數列{a_n}，定義數列{a_n+1-a_n}為數列{a_n}的“差數列”，若a₁=2，{a_n}的“差數列”的通項為2ⁿ，則數列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2
其中正確命題的個數是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通過判斷{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是否為等差數列判斷（1）；令公比為-1判斷（2）；通過計算a_n判斷（3）；累加法計算a_n得出通項公式，通過求和公式計算判斷（4）．

解答 解：（1）若{a_n}是等差數列，則S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=a₁-$\fracp9vv5xb5{2}$+$\fracp9vv5xb5{2}$n，
即$\frac{{S}_{n}}{n}$是關于n的一次函數，∴{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差數列，
∴三點$（10，\frac{{{S_{10}}}}{10}）$、$（100，\frac{{{S_{100}}}}{100}）$、$（110，\frac{{{S_{110}}}}{110}）$共線，故（1）正確；
（2）若{a_n}是公比為-1的等比數列，當m為偶數時，有S_m=S_2m=S_3m=0，顯然結論錯誤；故（2）錯誤；
（3）S_n=bⁿ+r，當n=1時，a₁=S₁=b+r，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1，
又因為{a_n}為等比數列，所以r=-1，故（3）正確；
（4）n=1時，a₁=2；
當n≥2時，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+2=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ；
∴S_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2，故（4）正確．
故選：B．

點評 本題考查了等差數列，等比數列的判斷與性質，屬于中檔題．