Question

19．下列函數中既是奇函數又在區間[-1，1]上單調遞減的是（　　）

• A． y=sinx
• B． y=-|x+1|
• C． $y=ln\frac{2-x}{x+2}$
• D． $y=\frac{1}{2}（{2^x}+{2^{-x}}）$

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和單調性的性質和定義進行判斷即可．

解答 解：A．y=sinx是奇函數，在區間[-1，1]上單調遞增，不滿足條件．
B．y=-|x+1|關于x=-1對稱，關于原點不對稱性，不是奇函數，不滿足條件．
C．由$\frac{2-x}{x+2}$＞0得-2＜x＜2，則函數的定義域為（-2，2），
∵$y=ln\frac{2-x}{x+2}$=ln（2-x）-ln（x+2），
∴函數在（-2，2）上為減函數，
則f（-x）=ln（2+x）-ln（2-x）=-[ln（2-x）-ln（x+2）]，則函數f（x）為奇函數，則C滿足條件．
D．f（-x）=$\frac{1}{2}$（2^-x+2^x）=f（x），則函數f（x）是偶函數，不滿足條件．
故選：C

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，根據函數奇偶性和單調性的性質是解決本題的關鍵．