Question

4．已知函數f（x）=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）設x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求f（x）的值域和單調遞減區間．

Answer 1

分析 利用倍角公式及輔助角公式化簡．
（1）直接利用周期公式求得f（x）的最小正周期；
（2）由x的范圍求得相位的范圍，進一步得到求f（x）的值域；再由復合函數的單調性求得函數的周期．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=$\sqrt{3}cos2x+sin2x=2（\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x）$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．
（1）函數f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，π]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，2]．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的單調遞減區間為[$\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ$]．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，是中檔題．