Question

16．已知函數f（x）是R上的奇函數，f（1）=1，且對任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，則f（2016）+f（2017）=1．

Answer 1

分析 求出f（3）=0，可得f（x）是以6為周期的周期函數，利用函數的周期性和奇偶性進行轉化求解，即可得出結論．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3）中，
∴令x=-3，得f（3）=f（-3）+f（3），即f（-3）=0．
又f（x）是R上的奇函數，故f（-3）=-f（3）=0．f（0）=0，
∴f（3）=0，
故f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的周期函數，
從而f（2017）=f（6×336+1）=f（1）=1．
f（2016）=f（6×336）=f（0）=0．
故f（2016）+f（2017）=0+1=1，
故答案為1．

點評 本題主要考查函數值的計算以及奇函數、周期函數的應用，確定f（x）是以6為周期的周期函數是關鍵．