Question

15．經銷商小王對其所經營的某一型號二手汽車的使用年數x（0＜x≤10）與銷售價格y（單位：萬元/輛）進行整理，得到如表的對應數據：

使用年數	2	4	6	8	10
售價	16	13	9.5	7	4.5

（Ⅰ）試求y關于x的回歸直線方程；
（Ⅱ）已知每輛該型號汽車的收購價格為w=0.05x²-1.75x+17.2萬元，根據（Ⅰ）中所求的回歸方程，預測x為何值時，小王銷售一輛該型號汽車所獲得的利潤z最大．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表中數據計算$\overline{x}=\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，$\overline{y}=\frac{1}{5}$×（16+13+9.5+7+4.5）=10，求出回歸系數，即可寫出回歸直線方程；
（Ⅱ）寫出利潤函數z=y-w，利用二次函數的圖象與性質求出x=3時z取得最大值．

解答 解：（Ⅰ）由表中數據得，$\overline{x}=\frac{1}{5}$×（2+4+6+8+10）=6，
$\overline{y}=\frac{1}{5}$×（16+13+9.5+7+4.5）=10，
由最小二乘法求得$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{2×16+4×13+6×9.5+8×7+10×4.5-5×6×10}{4+16+36+64+100-5×{6}^{2}}$=-1.45，
$\stackrel{∧}{a}$=10-（-1.45）×6=18.7，
所以y關于x的回歸直線方程為$\stackrel{∧}{y}$=-1.45x+18.7；
（Ⅱ）z=-1.45x+18.7-（0.05x²-1.75x+17.2）
=-0.05x²+0.3x+1.5
=-0.05（x-3）²+1.95，
所以預測當x=3時，銷售利潤z取得最大值．

點評 本題考查了回歸直線方程的求法與應用問題，也考查了二次函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題目．