Question

20．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=3+tcosα\end{array}\right.$（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸）中，曲線C的方程ρ=8sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標系方程；
（2）若點P（1，3），設圓C與直線l交于點A，B，求|PA|+|PB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=8sinθ，得ρ²=8ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得t²+2（cosα-sinα）t-12=0，利用根與系數的關系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由ρ=8sinθ，得ρ²=8ρsinθ，化為直角坐標方程為x²+y²=8y，x²+（y-4）²=16
（2）將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得t²+2（cosα-sinα）t-12=0，
由△=4（cosα-sinα）²+48＞0，△=（2cosα-2sinα）²+4×7＞0，
故可設t₁，t₂上上述方程的兩根，
所以$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-2（cosα-sinα）\\{t_1}{t_2}=-12\end{array}\right.$，又直線過點（1，3），故結合t的幾何意義得$|PA|+|PB|=|{t_1}+{t_2}|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$
=$\sqrt{4{{（cosα-sinα）}^2}+48}$=$\sqrt{52-4sin2α}≥4\sqrt{3}$，
所以PA|+|PB|的最小值為$4\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線與圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．