Question

10．已知函數f（x）的定義域為R，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，f（x+1）=f（x-1），則方程f（x）=$\frac{2x+1}{x}$在區間[-3，3]上的所有實根之和為（　　）

• A． 0
• B． -2
• C． -8
• D． 8

Answer 1

分析 可判斷函數f（x）的周期為2，從而化簡可得f（x）-2=$\frac{1}{x}$，作函數f（x）-2與y=$\frac{1}{x}$在[-3，3]上的圖象，從而結合圖象解得．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函數f（x）的周期為2，
∵f（x）=$\frac{2x+1}{x}$，
∴f（x）-2=$\frac{1}{x}$，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2，x∈[0，1]}\\{2-{x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
∴f（x）-2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x∈[0，1]}\\{{-x}^{2}，x∈（-1，0）}\end{array}\right.$，
作函數y=f（x）-2與y=$\frac{1}{x}$在[-3，3]上的圖象如下，

易知點A與點C關于原點對稱，
故方程f（x）=$\frac{2x+1}{x}$在區間[-3，3]上的所有實根之和為0，
故選：A．

點評 本題考查了數形結合的思想應用及方程與函數的關系應用．