Question

13．以$A（-\sqrt{3}，0）$為圓心，4為半徑作圓，$B（\sqrt{3}，0）$，C為圓上任意一點，分別連接AC，BC，過BC的中點N作BC的垂線，交AC于點M，當點C在圓上運動時，
（1）求M點的軌跡方程，并說明它是何種曲線；
（2）求直線y=kx+1截（1）所得曲線弦長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義求M點的軌跡方程，并說明它是何種曲線；
（2）直線y=kx+1代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，表示出弦長，即可求直線y=kx+1截（1）所得曲線弦長的最大值．

解答 解：（1）由題意，|MA|+|MB|=|AC|=4＞2$\sqrt{3}$，
∴M點的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，a=2，c=$\sqrt{3}$，
∴b=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）直線y=kx+1代入橢圓方程，可得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x=0或x=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，
∴弦長L=$\sqrt{1+{k}^{2}}•|\frac{8k}{1+4{k}^{2}}|$，
設t=1+4k²（t≥1），則L²=-12（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{16}{3}$，
∴t=3時，L的最大值為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．