Question

3．對于函數f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+m，（m∈R）
（1）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明
（2）是否存在實數m使函數f（x）為奇函數．

Answer 1

分析 （1）利用函數單調性的定義，即可證明；
（2）利用f（0）=0，即可求解．

解答 解：（1）f（x） 在（-∞，+∞） 上為單調減函數
證明：設x₁＞x₂，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＞x₂；
∴${3}^{{x}_{2}}$-${3}^{{x}_{1}}$＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x） 在 （-∞，+∞） 上為減函數． （6分）
（2）令f（0）=0，可得1+m=0，∴m=-1．

點評 本題考查根據減函數的定義證明一個函數為減函數的方法及過程，考查函數的奇偶性，屬于中檔題．