Question

11．已知函數f（x）=ax²+bx+c的圖象在y軸上的截距為1，且滿足f（x+1）=f（x）+x+1，
試求：（1）f（x）的解析式；
（2）當f（x）≤7時，對應的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數的截距求出c，利用待定系數法求解a，b即可．
（2）轉化不等式，通過二次不等式求解即可．

解答 解：（1）函數f（x）=ax²+bx+c的圖象在y軸上的截距為1，可得c=1；
f（x+1）=f（x）+x+1，
可得：a（x+1）²+bx+b+1=ax²+bx+x+2；
可得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+1=2}\\{2a+b=b+1}\end{array}\right.$解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$．
可得函數的解析式為：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1．
（2）f（x）≤7，可得：$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1≤7，
可得x²+x-12≤0，
解得-4≤x≤3．

點評 本題考查二次函數的簡單性質，考查轉化思想以及計算能力．