Question

14．在數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）
（Ⅰ）設b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），證明{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）當q=2時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出b_n=a_n+1-a_n=qb_n-1，n≥2，b₁=a₂-a₁=1，q≠0，由此能證明{b_n}是首項為1，公比為q的等比數列．
（Ⅱ）由a₂-a₁=1，a₃-a₂=q，…，${a}_{n}-{a}_{n-1}={q}^{n-2}$，利用累加法能求出數列{a_n}的通項公式．

解答 證明：（Ⅰ）∵數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0），
∴a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=a_n+1-a_n=qb_n-1，n≥2，
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，
∴{b_n}是首項為1，公比為q的等比數列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得a₂-a₁=1，a₃-a₂=q，
…，${a}_{n}-{a}_{n-1}={q}^{n-2}$，
將以上各式相加，得：
a_n-a₁=1+q+…+q^n-1=1+2+…+2^n-2=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1-1．
∴a_n=2^n-1．
n=1時，上式也成立，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=2^n-1．

點評 本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．