Question

20．已知傾斜角為45°的直線l過橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右焦點，則l被橢圓所截的弦長是（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 求出橢圓的焦點坐標，根據點斜率式設直線方程，與橢圓方程消去y，利用根與系數的關系，根據弦長公式即可算出弦長．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，a=2，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，則橢圓的右焦點（$\sqrt{3}$，0），
直線傾斜角為45°，斜率為1，設直線方程為y=x+m，橢圓兩交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入橢圓右焦點（$\sqrt{3}$，0），解得：m=-$\sqrt{3}$，則直線方程為y=x-$\sqrt{3}$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{5}{4}$x²-2$\sqrt{3}$x+2=0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$，
由弦長公式可知l被橢圓所截的弦長為丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}}$=$\frac{8}{5}$，
∴丨AB丨=$\frac{8}{5}$，
故選D．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理及弦長公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．