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15.已知A,B,C三點不共線,點O為平面ABC外的一點,則下列條件中,能得到P∈平面ABC的是( 。
A.$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$B.$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$
C.$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$D.$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$

分析 根據題意,由空間向量基本定理可得:P∈平面ABC的充要條件是存在實數α、β、γ,使得$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$成立,且α+β+γ=1,實數α、β、γ有且僅有1組;據此依次分析選項,驗證α+β+γ=1是否成立,即可得答案.

解答 解:根據題意,A,B,C三點不共線,點O為平面ABC外的一點,
若P∈平面ABC,則存在實數α、β、γ,使得$\overrightarrow{OP}$=α$\overrightarrow{OA}$+β$\overrightarrow{OB}$+γ$\overrightarrow{OC}$成立,且α+β+γ=1,實數α、β、γ有且僅有1組;
據此分析選項:
對于A:$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$中,$\frac{1}{3}$+(-$\frac{2}{3}$)+$\frac{1}{3}$=0≠1,不滿足題意;
對于B:$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{4}{3}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$中,$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$+(-1)≠1,滿足題意;
對于C:$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$中,1+1+1=3≠1,不滿足題意;
對于D:$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$中,1+(-1)+(-1)=-1≠1,不滿足題意;
故選:B.

點評 本題考查空間向量的共線與共面的判斷,關鍵是掌握空間向量共面的判斷方法.

練習冊系列答案
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