Question

10．已知函數f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R）
（1）若關于x的不等式f（x）＞0的解集為R，求實數a的取值范圍；
（2）若關于x的不等式f（x）≤0的解集為P，集合Q={x|0≤x≤1}，若P∩Q=∅，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）應用一元二次不等式恒成立時判別式△≤0，求出a的取值范圍；
（2）問題轉化為不等式f（x）＞0對x∈Q恒成立，由此求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-（a+1）x+1（a∈R），
且關于x的不等式f（x）≥0的解集為R，
∴△=（a+1）²-4≤0，
解得-3≤a≤1，
∴實數a的取值范圍是-3≤a≤1；
（2）∵關于x的不等式f（x）≤0的解集是P，
集合Q={x|0≤x≤1}，當 P∩Q=∅時，
即不等式f（x）＞0對x∈Q恒成立；
∴x∈[0，1]時，x²-（a+1）x+1＞0恒成立，
∴a+1＜x+$\frac{1}{x}$對于x∈（0，1]時恒成立；
∴a+1＜2，
即a＜1，
∴實數a的取值范圍是a＜1．

點評 本題考查了二次函數與一元二次方程以及對應不等式的解法與應用問題，考查了轉化思想的應用問題，是綜合性題目．