Question

20．如圖，在幾何體P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四邊形ABCD為矩形，△PAB為正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分別為AC，BP中點．
（Ⅰ）求證EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連結BD，則E為BD的中點，利用中位線定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；
（II）取AB中點O，連接PO，DO，得出PO⊥平面ABCD，于是，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，求出OP，DP，得直線DP與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因為E為AC中點，所以DB與AC交于點E．
因為E，F分別為AC，BP中點，所以EF是△BDP的中位線，
所以EF∥DP．
又DP?平面PCD，EF?平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
（Ⅱ）解：取AB中點O，連接PO，DO．
∵△PAB為正三角形，∴PO⊥AB，
又∵平面ABCD⊥平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，∴DP在平面ABCD內的射影為DO，∠PDO為DP與平面ABCD所成角，
OP=$\sqrt{3}$，DP=$\sqrt{5}$，在Rt△DOP中，sin∠PDO=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直線DP與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，作出線面角并證明是解題關鍵，屬于中檔題．