Question

11．已知函數g（x）=x²-（m-1）x+m-7．
（1）若函數g（x）在[2，4]上具有單調性，求實數m的取值范圍；
（2）若在區間[-1，1]上，函數y=g（x）的圖象恒在y=2x-9圖象上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的對稱軸，根據二次函數的單調性求出m的范圍即可；
（2）問題轉化為x²-（m+1）x+m+2＞0對任意x∈[-1，1]恒成立，設h（x）=x²-（m+1）x+m+2，求出函數的對稱軸，通過討論對稱軸的范圍，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）對稱軸x=$\frac{m-1}{2}$，且圖象開口向上．
若函數g（x）在[2，4]上具有單調性，
則滿足$\frac{m-1}{2}$≤2或$\frac{m-1}{2}$≥4，
解得：m≤5或m≥9；
（2）若在區間[-1，1]上，函數y=g（x）的圖象恒在y=2x-9圖象上方，
則只需：x²-（m-1）x+m-7＞2x-9在區間[-1，1]恒成立，
即x²-（m+1）x+m+2＞0對任意x∈[-1，1]恒成立，
設h（x）=x²-（m+1）x+m+2其圖象的對稱軸為直線x=$\frac{m+1}{2}$，且圖象開口向上
①當$\frac{m+1}{2}$≥1即m≥1時，h（x）在[-1，1]上是減函數，
所以h（x）_min=h（1）=2＞0，
所以：m≥1；
②當-1＜$\frac{m+1}{2}$＜1，即-3＜m＜1，函數h（x）在頂點處取得最小值，
即h（x）_min=h（$\frac{m+1}{2}$）=m+2-$\frac{{（m+1）}^{2}}{4}$＞0，解得：1-2$\sqrt{2}$＜m＜1；
③當$\frac{m+1}{2}$≤-1即m≤-3時，h（x）在[-1，1]上是增函數，
所以，h（x）min=h（-1）=2m+4＞0，解得：m＞-2，
此時，m∈∅；
綜上所述：m＞1-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性以及分類討論思想，是一道中檔題．