Question

19．如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，則△BCD面積的最大值為（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 運用余弦定理，表示出AC，進而用三角函數表示出S_△BCD．

解答 解：在△ABC中，設∠ACB=α，∠ACB=β，由余弦定理得：
AC²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
∵△ACD為正三角形，
∴CD²=5-4cosα，
由正弦定理得：$\frac{1}{sinβ}$=$\frac{AC}{sinα}$，
∴AC•sinβ=sinα，
∴CD•sinβ=sinα，
∵（CD•cosβ）²=CD²（1-sin²β）=CD²-sin²α=5-4cosα-sin²α=（2-cosα）²，
∵β＜∠BAC，
∴β為銳角，CD•cosβ=2-cosα，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$•2•CD•sin（$\frac{π}{3}$+β）
=CD•sin（$\frac{π}{3}$+β）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD•cosβ+$\frac{1}{2}$CD•sinβ
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（2-cosα）+$\frac{1}{2}$sinα
=$\sqrt{3}$+sin（α-$\frac{π}{3}$），
當α=$\frac{5π}{6}$時，（S_△BCD）_max=$\sqrt{3}$+1．
故選：D．

點評 本題考查三角形的面積的最值的求法，注意運用余弦定理和面積公式，同時考查基本不等式的運用，屬于中檔題．