Question

14．已知直線l₁與圓心為C的圓（x-1）²+（y-2）²=4相交于不同的A，B兩點，對平面內任意點Q都有$\overrightarrow{QC}=λ\overrightarrow{QA}+（1-λ）\overrightarrow{QB}$，λ∈R，又點P為直線l₂：3x+4y+4=0上的動點，則$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為（　�。�

• A． 21
• B． 9
• C． 5
• D． 0

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{QC}=λ\overrightarrow{QA}+（1-λ）\overrightarrow{QB}$，λ∈R，得三點A、B、C共線，由向量的線性運算的$\overrightarrow{BA}=\overline{PA}-\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{2PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$⇒${\overrightarrow{BA}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}-2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…①，$4{\overrightarrow{PC}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}+2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…②．
②-①得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={\overrightarrow{PC}}^{2}-\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^{2}$=${\overrightarrow{PC}}^{2}-4$，求出PC范圍即可．

解答 解：∵對平面內任意點Q都有$\overrightarrow{QC}=λ\overrightarrow{QA}+（1-λ）\overrightarrow{QB}$，λ∈R，∴三點A、B、C共線，即AB為圓C的直徑．
∴$\overrightarrow{BA}=\overline{PA}-\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{2PC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$⇒${\overrightarrow{BA}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}-2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…①，$4{\overrightarrow{PC}}^{2}={\overrightarrow{PA}}^{2}+{\overrightarrow{PB}}^{2}+2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$…②．
②-①得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}={\overrightarrow{PC}}^{2}-\frac{1}{4}{\overrightarrow{BA}}^{2}$=${\overrightarrow{PC}}^{2}-4$；
∵點C到直線直線l₂的距離為3，∴${\overrightarrow{PC}}^{2}≥9$，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值為5．
故選：C．

點評 本題考查了向量的線性運算，數形結合、轉化思想是關鍵，屬于壓軸題．