Question

4．設函數f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=-4x³+3x，對任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥g（t）成立，則實數a的取值范圍是a≥1．

Answer 1

分析 t∈[$\frac{1}{2}$，2]時，g（t）的最大值為1，若對任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥g（t）成立，則在[$\frac{1}{2}$，2]上$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，構造函數h（x）=-x²lnx+x，求其最大值，可得答案．

解答 解∵在[$\frac{1}{2}$，2]上g′（x）=-12x²+3≤0恒成立，
∴當x=$\frac{1}{2}$時，g（x）=-4x³+3x取最大值1，
∵對任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≥g（t）成立，
∴在[$\frac{1}{2}$，2]上$\frac{a}{x}$+xlnx≥1恒成立，
即在[$\frac{1}{2}$，2]上a≥-x²lnx+x恒成立，
令h（x）=-x²lnx+x，則h′（x）=-x（2lnx+1）+1，h′′（x）=-2lnx-3，
∵在[$\frac{1}{2}$，2]上h′′（x）＜0恒成立，∴h′（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上為減函數，
∵當x=1時，h′（x）=0，故當x=1時，h（x）取最大值1，
故a≥1，
故答案為：a≥1

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，難度中檔．