Question

19．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，動直線l與橢圓交于B，C兩點（B在第一象限）．
（1）若點B的坐標為（1，$\frac{3}{2}$），求△OBC面積的最大值；
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），且3y₁+y₂=0，求當△OBC面積最大時，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線OB的方程為：y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，設經過點C且平行于直線OB的直線l′方程為：y=$\frac{3}{2}$x+b．則當l′與橢圓只有一個公共點時，△OBC的面積最大．此時直線與橢圓相切．
（2）直線l與y軸不垂直，設直線l的方程為：x=my+n，與橢圓方程聯立化為：（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0，
利用根與系數的關系及其3y₁+y₂=0，可得n²=$\frac{3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+1}$．則S_△OBC=$\frac{1}{2}|n|$•|y₁-y₂|=2|n||y₁|=$\frac{6|m|{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{6|m|}{3{m}^{2}+4}$．進而得出結論．

解答 解：（1）直線OB的方程為：y=$\frac{3}{2}$x，即3x-2y=0，設經過點C且平行于直線OB的直線l′方程為：y=$\frac{3}{2}$x+b．
則當l′與橢圓只有一個公共點時，△OBC的面積最大．聯立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{3}{2}x+b}\end{array}\right.$，化為：3x²+3bx+b²-3=0，
由△=9b²-12（b²-3）=0，解得b=$±2\sqrt{3}$．當b=2$\sqrt{3}$時，C$（-\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$；當b=-2$\sqrt{3}$時，C$（\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
S_△OBC≤$\frac{1}{2}×\sqrt{1+\frac{9}{4}}$×$\frac{|3\sqrt{3}+\sqrt{3}|}{\sqrt{13}}$=$\sqrt{3}$．
（2）直線l與y軸不垂直，設直線l的方程為：x=my+n，聯立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6mn}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=$\frac{3{n}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$．∵3y₁+y₂=0，∴y₁=$\frac{3nm}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}^{2}$=$\frac{4-{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，∴$\frac{9{m}^{2}{n}^{2}}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$=$\frac{4-{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，∴n²=$\frac{3{m}^{2}+4}{3{m}^{2}+1}$．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}|n|$•|y₁-y₂|=2|n||y₁|=$\frac{6|m|{n}^{2}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{6|m|}{3{m}^{2}+4}$．
∵B在第一象限，∴x₁=my₁+n=$\frac{3{m}^{2}n}{3{m}^{2}+4}$+n＞0，∴n＞0．
∵y₁＞0，∴m＞0．
∴S_△OBC=$\frac{6m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{6}{3m+\frac{1}{m}}$$≤\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，當且僅當m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號．此時n=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
此時直線l的方程為：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$y+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，即2$\sqrt{3}$x-2y-$\sqrt{30}$=0．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、直線與橢圓相切問題、三角形面積計算公式、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．