Question

4．已知橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，過左焦點作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線交橢圓于A，B兩點．
（1）求弦AB的長．
（2）求左焦點F₁到AB中點M的長．

Answer 1

分析 （1）左焦點F（-2$\sqrt{2}$，0），直線AB方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯立化為4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，再利用弦長公式即可得出，
（2）設AB中點M的坐標為（x₀，y₀），由（1）可知，x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，再根據兩點之間的距離公式即可求出．

解答 解：（1）左焦點F（-2$\sqrt{2}$，0），
直線AB方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，
∴x₁+x₂=-3$\sqrt{2}$，x₁x₂=$\frac{15}{4}$，
∴|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=18-15=3，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{3}$
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{4}{3}×3}$=2；
（2）設AB中點M的坐標為（x₀，y₀）
由（1）可知，x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
y₀=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x₀+2$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴|F₁M|=$\sqrt{（-2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程、直線與橢圓相交弦長問題，兩點之間的距離公式，推理能力與計算能力，屬于中檔題．