Question

1．函數y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據對數函數的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．

解答 解：∵x=-2時，y=log_a1-1=-1，
∴函數y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）（2m+n）=2+1+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2•$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=$3+2\sqrt{2}$，
當且僅當m=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，n=$\sqrt{2}-$1時取等號．
故選：A

點評 本題考查了對數函數的性質和均值不等式等知識點，運用了整體代換思想，是高考考查的重點內容．