Question

12．已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；
（Ⅱ） 求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（Ⅲ） 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OQ、OP，則△OQP為直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P點(diǎn)的軌跡方程；
（Ⅱ）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；
（Ⅲ） $|{OP}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{{a^2}+{{（-2a+3）}^2}}=\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{9}{5}}$，故當(dāng)$a=\frac{6}{5}$時(shí)，${|{OP}|_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}$．此時(shí)，$b=-2a+3=\frac{3}{5}$，${R_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}-1$，即可求出半徑最小的圓的方程．

解答 解：（Ⅰ）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|²．
又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|²=|PA|²．
即：（a²+b²）-1²=（a-2）²+（b-1）²．
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2a+b-3=0．
（Ⅱ）由2a+b-3=0，得b=-2a+3.$|{PQ}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}-1}=\sqrt{{a^2}+{{（-2a+3）}^2}-1}$=$\sqrt{5{a^2}-12a+8}$=$\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{4}{5}}$，
故當(dāng)$a=\frac{6}{5}$時(shí)，${|{PQ}|_{min}}=\frac{2}{5}\sqrt{5}$．即線段PQ長(zhǎng)的最小值為$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．
（Ⅲ）設(shè)圓P 的半徑為R，∵圓P與圓O有公共點(diǎn)，圓 O的半徑為1，∴|R-1|≤|OP|≤R+1．即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1．
而$|{OP}|=\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{{a^2}+{{（-2a+3）}^2}}=\sqrt{5{{（a-\frac{6}{5}）}^2}+\frac{9}{5}}$，
故當(dāng)$a=\frac{6}{5}$時(shí)，${|{OP}|_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}$．
此時(shí)，$b=-2a+3=\frac{3}{5}$，${R_{min}}=\frac{3}{5}\sqrt{5}-1$．
得半徑取最小值時(shí)圓P的方程為${（x-\frac{6}{5}）^2}+{（y-\frac{3}{5}）^2}={（\frac{3}{5}\sqrt{5}-1）^2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．