Question

2．已知函數f（x）=$\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx+c（a，b，c∈R），函數f（x）的兩個極值點分別在區間（0，1）與（1，2）內，則b-a+1的取值范圍是（2，5）．

Answer 1

分析 由題意可知：f′（x）=x²+ax+2b，由x²+ax+2b=0的兩個根分別在區間（0，1）與（1，2）內，$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2b＞0}\\{f′（1）=1+a+2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，轉化為在約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{y＞0}\\{1+x+2y＜0}\\{2+x+y＞0}\end{array}\right.$時，求z=y-x+1的取值范圍，即可求得b-a+1的取值范圍．

解答 解：由f（x）=$\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx+c，求導f′（x）=x²+ax+2b，
f（x）的兩個極值點分別在區間（0，1）與（1，2）內，求導f′（x）=x²+ax+2b，
由x²+ax+2b=0的兩個根分別在區間（0，1）與（1，2）內，
即$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2b＞0}\\{f′（1）=1+a+2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，令z=b-a+1，a=x，b=y，
∴轉化為在約束條件為$\left\{\begin{array}{l}{y＞0}\\{1+x+2y＜0}\\{2+x+y＞0}\end{array}\right.$時，求z=y-x+1的取值范圍，可行域如下陰影（不包括邊界），

目標函數轉化為y=x+z-1，由圖可知，z在（-1，0）處取得最小值2，在（-3，1）處取得最大值5，
∴b-a+1的取值范圍（2，5）．
故答案為：（2，5）．

點評 本題考查導數求導法則，導數極值的綜合應用，考查平面線性規劃的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．