Question

10．已知函數f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$，
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）根據函數成立的條件進行求解即可．
（2）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可．

解答 解：（1）x的取值需滿足2^x-1≠0，則x≠0，
即f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）．
（2）由（1）知定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，
則f（-x）=$\frac{1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$，
∴f（x）+f（-x）
=$\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{-{2}^{x}}{{2}^{x}-1}$+1=-1+1=0．
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）為奇函數．

點評 本題主要考查函數定義域和奇偶性的判斷，根據奇偶性的定義結合指數冪的運算性質是解決本題的關鍵．