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17.已知圓C1:x2+y2-3x-3y+3=0,圓C2:x2+y2-2x-2y=0.
(1)求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.
(2)求過兩圓交點且面積最小的圓的方程.

分析 (1)兩方程相減求兩圓的公共弦所在的直線方程,利用勾股定理公共弦長.
(2)直線C1C2方程:x-y=0.$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-3=0\end{array}\right.$,交點為$({\frac{3}{2},\frac{3}{2}})$,即為圓的圓心,半徑r=$\sqrt{\frac{3}{2}}$,即可求過兩圓交點且面積最小的圓的方程.

解答 解:(1)設兩圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
則A、B兩點的坐標是圓C1:x2+y2-3x-3y+3=0,圓C2:x2+y2-2x-2y=0,聯立方程組的解,
兩方程相減得:x+y-3=0,
∵A、B兩點的坐標都滿足該方程,∴x+y-3=0為所求.
將圓C2的方程化為標準形式,(x-1)2+(y-1)2=2,∴圓心C2(1,1),半徑r=$\sqrt{2}$.
圓心C2到直線AB的距離d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$,|AB|=$\sqrt{6}$.
即兩圓的公共弦長為$\sqrt{6}$.
(2)C1($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$),C2(1,1),直線C1C2方程:x-y=0.
$\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y-3=0\end{array}\right.$,交點為$({\frac{3}{2},\frac{3}{2}})$,
即為圓的圓心,半徑r=$\sqrt{\frac{3}{2}}$,
所以圓的方程是:${(x-\frac{3}{2})^2}+{(y-\frac{3}{2})^2}=\frac{3}{2}$.

點評 本題考查圓與圓的位置關系,考查圓的方程,考查學生的計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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