Question

12．已知函數g（x）=log₂x，x∈（0，2），若關于x的方程|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個不同實數解，則實數m的取值范圍為$（{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$．

Answer 1

分析 若|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個不同實數解，則方程u²+mu+2m+3=0有兩個根，其中一個在區間（0，1）上，一個在區間[1，+∞）上，進而得到答案．

解答 解：令t=g（x）=log₂x，x∈（0，2），
則t∈（-∞，1），
若|g（x）|²+m|g（x）|+2m+3=0有三個不同實數解，
則方程u²+mu+2m+3=0有兩個根，
其中一個在區間（0，1）上，一個根為0或在區間[1，+∞）上，
若方程u²+mu+2m+3=0一個根為0，則m=-$\frac{3}{2}$，另一根為$\frac{3}{2}$，不滿足條件，
故方程u²+mu+2m+3=0有兩個根，
其中一個在區間（0，1）上，一個在區間[1，+∞）上，
令f（u）=u²+mu+2m+3，則$\left\{\begin{array}{l}f（0）=2m+3＞0\\ f（1）=3m+4≤0\end{array}\right.$，
解得：m∈$（{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$，
故答案為：$（{-\frac{3}{2}，-\frac{4}{3}}]$

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，轉化思想，對數函數的圖象和性質，二次函數的圖象和性質，難度中檔．