Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}a{x^2}$-bx．
（1）當(dāng)a=-2，b=3時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}a{x^2}+bx+\frac{a}{x}（{0＜x≤3}）$，其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0，b=-1時，方程f（x）=mx在區(qū)間[1，e²]內(nèi)恰有兩個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a，b的值帶入f（x），求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥${（-\frac{1}{2}x_0^2+{x_0}）_{min}}$，從而求出a的范圍即可；
（3）求出f（x）的解析式，問題轉(zhuǎn)化為m=1+$\frac{lnx}{x}$在區(qū)間[1，e²]內(nèi)恰有兩個實數(shù)解．

解答 解：（1）依題意，f（x）的定義域為（0，+∞），
當(dāng)a=-2，b=3時，f（x）=lnx+x²-3x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}=0，得x=\frac{1}{2}$或x=1
列表f（x）的極大值為$f（\frac{1}{2}）=-ln2-\frac{5}{4}$，
f（x）的極小值為f（1）=-2；
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x∈（0，3]，
則有k=F'（x₀）=$\frac{{{x_0}-a}}{{{x_0}^2}}≤\frac{1}{2}$，在（0，3]上有解，
∴a≥${（-\frac{1}{2}x_0^2+{x_0}）_{min}}$
所以 當(dāng)x=1時，-$\frac{1}{2}x_0^2+{x_0}$取得最小值$\frac{1}{2}$，∴a≥$\frac{1}{2}$．
（3）當(dāng)a=0，b=-1時，f（x）=lnx+x=mx，（x∈[1，e²]），
得m=1+$\frac{lnx}{x}在[{1，{e^2}}]有兩個實數(shù)解$，
$m∈[\frac{2}{e^2}+1，\frac{1}{e}+1）$時方程有兩個實數(shù)解．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．