Question

17．如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點M、N，若$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}（{mn＞0}）$，則m+n的取值范圍為[2，+∞）．

Answer 1

分析 由三點共線時，以任意點為起點，這三點為終點的三向量，其中一向量可用另外兩向量線性表示，其系數和為1得到$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=1，然后利用基本不等式求最值

解答 解：∵△ABC中，點O是BC的中點，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∵$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}（{mn＞0}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2m}$$\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{2n}$$\overrightarrow{AN}$，
又∵O，M，N三點共線，
∴$\frac{1}{2m}$+$\frac{1}{2n}$=1，
∴m+n=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$）=2，當且僅當m=n=1時取等號，
故m+n的取值范圍為[2，+∞），
故答案為：[2，+∞）

點評 本題考查了共線向量基本定理的應用，考查了利用基本不等式求最值，關鍵是“1”的用法，是中檔題．